线性电路的分析方法_一阶线性动态电路的分析方法
摘 要： 本文针对一阶动态电路具有的特殊规律和特征，运用四种方法介绍对一阶动态RC电路的求解，以区别于稳态电路的求解方法。并对比各种解法，在不同类型的动态电路分析中进行合理选择，以期更方便地求解问题。
关键词： 一阶线性 动态电路 求解方法
一阶线性动态电路指的是电路中只含有一种储能元件（电容或电感），当电路的结构或元件参数发生改变时，电路的工件状态将由原来的稳态转变成另一个稳态，这种转变是需要一个过程的。一阶线性动态电路其动态过程的数学模型是一阶常系数微分方程。此类电路以RC电容充放电电路、RL电感储能和释能电路最为常见，其动态过程中的电流和电压都是变化的。这与通常描述的直流电路和周期性交流电路中，电压及电流恒稳不变，或按周期性规律变动的稳态电路不同。在分析方法上也完全不同。下面以RC动态电路为例，运用四种方法求解动态过程中的电流和电压的变化规律。
如图1，RC电路开关S合上前电容已充过电，电容上的电压U（0_）=U，求开关合上后电路中的电流i和电压u。
解法一：微分方程法
由i=C，得回路电压方程
u+CR=U
得：u=U+Ae
由换路定律知：t=0时，u（0_）=u（0）=U代入上式确定常数A值
得：A=U-U
所以u=U+（U-U）e
i=C=e
可见当开关S闭合后，电容充电电容电压由U逐渐增大为U，电路电流由按指数规律逐渐衰减为0。
解法二：三要素法
一阶线性动态电路的三要素公式为：
f（t）=f（∞）+［f（0）-f（∞）］e（t≥0）
其中三要素为：稳态值f（∞）为t=∞时所求响应的稳定值
初始值f（0）为t=0时所求响应的起始值
时间常数τ=CR
由此得：u=U+（U-U）e
i=0+-0e=e
解法三：拉氏变换法
由回路电压方程u+CR=U?藓（t）
其中?藓（t）为阶跃函数?藓（t）=1（t≥0）?藓（t）=0（t<0）
对此方程作拉氏变换得：U（S）+CR［SU（S）-U（0_）］=
得：U（S）=+=-+
由拉氏逆变换得：u=U-Ue+Ue=U+（U-U）e
i==e
解法四：R、C元件的复频域模型法
i=C
运用拉氏变换得：I（S）=CSU（S）-CU（0_）
得：U（S）=+
根据图2所示的RC电路复频域等效模型，由基尔霍夫定律的复频域方程得：
++I（S）R=
得：I（S）=×=（U-U）
由拉氏逆变换得：i=e
u=U-i（t）R=U-（U-U）e=U+（U-U）e
文中用四种方法求解了一阶线性动态电路的响应，对比此四种方法，对一阶动态电路，三要素法只需根据换路后的等效电路，确定出三要素后就能直接按表达式写出响应。微分方程法要运用初始条件求常数A，且求解过程也相对复杂些，但微分方程是依据回路的电压方程列出的，物理意义很明确，是三要素法、拉氏变换法的基础。在二阶RLC动态电路分析中，所列出的方程是二阶微分方程，求解难度较大，此种情况下用拉氏变换把微分方程转化为代数方程，运用动态电路复频域分析法求解会较为方便。因此在分析动态电路时，选择合适的求解方法，会达到事半功倍的效果。
参考文献：
［1］王慧玲.电路基础.高等教育出版社，2007：11.
［2］王翠萍.应用数学.中国纺织出版社，2009：4.
经典法作为分析动态电路的一种方法
经典法作为分析动态电路的一种方法如下：
经典法是基于KCL、KVL和支路VCR建立的以时间为自变量的描述方程 ，利用经典法可以求出电路中的所求变量(电压或电流)。
n阶微分方程电路的由来：
在一般情况下，当电路中仅含有一个动态元件，动态元件以外的线性电阻电路可用戴维宁定理或者诺顿定理置换为电压源和电阻的串联组合，或电流源和电阻的并联组合，对于这样的电路。
所建立的电路方程将是一阶线性常微分方程，相应的电路称为一阶电路。当电路中含有两个或n个动态元件时，建立的方程为二阶微分方程或n阶微分方程。
过渡过程：
含有动态元件的电路又称为电路，动态电路的一个特征是当电路的结构或元件的参数发生变化时(例如电路中电源或无源元件的断开或接入，信号的突然注入等)，可能使电路改变原来的工作状态，转变到另一个工作状态，这种状态往往需要经历一个过程，在工程上称为过渡过程。
换路时刻：
上述电路结构或者参数变化引起的电路变化统称为“换路”，并认为换路是在t=0时刻进行的。为了叙述方便，把换路前的最终时刻记为t=0-，把换路后的最初时刻记为t=0+，换路经历的时间为0-到0+。
注意事项：
使用经典法求解常微分方程时，必须根据电路的初始条件确定解答中的积分常数，设描述电路动态过程中的微分方程为n阶，所谓初始条件就是指电路中所求变量(电压或电流)及其1阶至(n-1)阶导数在t=0+时的值，也称为初始值。电容电压Uc(0+)和电感电流iL(0+)称为独立的初始条件，其余的称为非独立的初始条件。
动态电路的动态电路的分析
电路内部含有储能元件L、C，电路在环路（支路介入或断开、电路参数变化等）时能量发生变化，而能量的储存和释放都需要一定的时间来完成。
动态电路的分析是指当电路发生换路后,电路中电压、电流随时间变化的规律、动态电路分析的方法,有经典法和变换域分析法。
在一阶RC电路中，动态电路的方程：
Ri+uc=Us 得 Ri(duc/dt)+uc=Us
在一阶RL电路中，动态电路的方程：
Ri+uL=Us 得 Ri+L(di/dt)=Us
通俗的说,动态电路就是含有动态元件(LorC)的电路.动态电路在任一时刻的响应(response,由激励产生的电流和电压称为响应)与激励(excitation,在电路中产生的电压和电流的起因,叫激励)的全部过去历史有关,这是由动态元件的性能所决定的.
